Selasa, 06 Januari 2009

MENERAPKAN KONSEP MATRIKS

MODUL MATEMATIKA

STANDAR KOMPETENSI : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks

KODE KOMPETENSI : D.12

KELAS / SEMESTER : X (BM) / 2

KOMPETENSI DASAR : 1. Mendeskripsikan macam-macam matriks.

INDIKATOR : - Matriks ditentukan unsur dan notasinya

- Matriks dibedakan menurut jenis dan relasinya

ALOKASI WAKTU : 4 x 45 menit

URAIAN MATERI :

A. Macam-macam Matriks

Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:

· menjelaskan pengertian matriks, notasi matriks, baris, kolom, elemen dan ordo matriks,

· membedakan jenis-jenis matriks,

· menjelaskan kesamaan matriks, dan

· menjelaskan transpose matriks.

1. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari, matematika, maupun dalam mata pelajaran lain, keterangan-keterangan sering kali disajikan

dalam bentuk matriks.

a. Pengertian Matriks

Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang berbentuk persegipanjang yang diatur dalam baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan dalam tanda kurung biasa ( ), atau kurung siku [ ]. Elemen-elemen atau entri-entri

tersebut dapat berupa bilangan atau berupa huruf. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan seterusnya. Sedangkan elemennya, jika berupa huruf, maka ditulis dengan huruf kecil.










Kolom ke-n

Kolom ke-2

Kolom pertama

b. Ordo Matriks

Ordo (ukuran) dari matriks adalah banyaknya elemen baris diikuti banyaknya kolom. Amxn berarti matriks A berordo m x n, artinya matriks tersebut mempunyai m buah baris dan n buah kolom.

c. Jenis-Jenis Matriks

1) Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya nol.

2) Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.

3) Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.

4) Matriks Persegi atau Bujur Sangkar

Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

5) Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang seluruh elemennya nol kecuali pada diagonal utamanya tidak semuanya nol.

6) Matriks Segitiga

Matriks segitiga terdiri atas dua macam, yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utama seluruhnya nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utama seluruhnya nol.

7) Matriks Identitas

Matriks identitas merupakan matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya satu dan elemen lainnya adalah nol.

2. Transpose Matriks

Transpose matriks A = (aij) dengan ordo m x n ditulis AT = (aji) dan mempunyai ordo n x m. Elemen-elemen baris matriks AT diperoleh dari elemen-elemen kolom matriks A dan sebaliknya.

maka transpose matriks C adalah

3. Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) dari kedua matriks tersebut sama. Matriks A=B karena ordo dan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut sama. Sedangkan A ≠ C, walaupun elemennya sama tetapi tidak seletak.

Contoh :

Tentukan nilai a dan b jika

Solusi:

a + 2 = 4 2b – 1 = 9 Jadi nilai a = 2 dan b = 5.

a = 2 2b = 9 + 1

b = 5

********************************************

MODUL MATEMATIKA

STANDAR KOMPETENSI : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks

KOMPETENSI DASAR : 2. Menyelesaikan operasi matriks
INDIKATOR : - Dua matriks atau lebih ditentukan hasil penjumlahan dan pengurangannya
- Dua matriks atau lebih ditentukan hasil perkaliannya

ALOKASI WAKTU : 12 x 45 menit

URAIAN MATERI :


B. Operasi pada Matriks

Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat

· menyelesaikan penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar dengan matriks dan

· perkalian matriks dengan matriks;

· menyelesaikan kesamaan matriks menggunakan penjumlahan, pengurangan, dan

· perkalian matriks.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah atau selisih didapat dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut.

Untuk setiap matriks A, B dan C yang berordo sama, berlaku sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan matriks sebagai berikut:

a. A + (B + C) = (A + B) + C ; sifat asosiatif,

b. A + B = B + A ; sifat komutatif,

c. A(B + C) = AB + AC ; sifat distributif,

d. A(B – C) = AB – AC,

e. A + 0 = 0 + A = A,

f. terdapat matriks X sedemikian sehingga A + X = B.

2. Perkalian Matriks

a. Perkalian Matriks dengan Skalar (k)

Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks, maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan skalar k. Untuk setiap skalar k1 dan k2, dan untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama

dan AB terdefinisi, berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar sebagai berikut:

a. (k1 + k2) A = k1 A + k2 A

b. (k1 – k2) A = k1 A – k2 A

c. (k1 k2) A = k1(k2 A)

d. k1(A B) = (k1 A) B

e. k1(A + B) = k1 A + k1 B

f. k1(A – B) = k1 A – k1 B

b. Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = ( A B) yang berordo m x p, didapat dengan cara mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B.

Jika matriks A berordo m x n dan B berordo p x q dimana n p maka A x B tak terdefinisi.

Jika A = dan B = maka perkalian A dengan B dapat ditentukan dengan persamaan :

AB = =

*******************************************


MODUL MATEMATIKA

STANDAR KOMPETENSI : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks

KODE KOMPETENSI : D.12

KELAS / SEMESTER : X (BM) / 2

KOMPETENSI DASAR : 3. Menentukan detereminan dan invers

INDIKATOR : - Matriks ditentukan determinannya

- Matriks ditentukan inversnya

ALOKASI WAKTU : 12 x 45 menit

URAIAN MATERI :

C. Determinan dan Invers Matriks

Setelah mempelajari materi pada kompetensi dasar ini, kalian diharapkan dapat:

· menentukan determinan dan invers matriks ordo 2,

· menentukan minor, kofaktor dan adjoin matriks,

· menentukan determinan dan invers matriks ordo 3, dan

· menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.

1. Determinan Matriks Ordo Dua

Misal maka determinan matriks A adalah det (A) = = ( ad – bc )

2. Determinan Matriks Ordo Tiga

Misalkan matriks persegi dengan ordo tiga diberikan di bawah ini

maka det ( A ) =


Banyak cara yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks dengan ordo 3 x 3, tetapi yang paling banyak digunakan adalah dengan menggunakan aturan Sarrus. Dengan langkah-langkah sebagai berikut.

· Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertikal dari determinan.

· Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur yang sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping.

Perhatikan skema untuk menghitung dengan menggunakan sarrus di bawah ini.

Det ( A ) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a31 a22 a13 – a32 a23 a11 – a33 a21 a12

= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12 )

3. Minor , Kofaktor, dan Adjoin

Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor entri atau elemen aij dinyatakan oleh Mij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggal setelah baris ke-I dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)i+j Mij dinyatakan oleh Cij dinamakan kofaktor entri aij.

Perhatikan matriks

jika baris ke-1 dan kolom ke-1 dihapus, didapat minor m11 adalah =

jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dihapus, didapat minor m12 adalah =

jika baris ke-1 dan kolom ke-3 dihapus, didapat minor m13 adalah =

dan seterusnya.

4. Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikian sehingga hasil kali AB = BA = I, dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A-1 atau A = B-1.

A-1 = 1__ (adj A)

Det (A)


Catatan

· Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya 0, matriks seperti ini disebut matriks nonsingular sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebut matriks singular .

· Invers suatu matriks jika ada dan tunggal, maka berlaku sifat

· (A-1)-1 = A

· (A x B)-1 = B-1 x A-1



*****************************************

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar